Analyse Schwingender Systeme

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Die Analyse schwingender, mechanischer Systeme kann auf viele verschiedene Arten erfolgen. Im Folgenden werden die wichtigsten mathematischen Grundlagen und Begriffe erklärt. Reale Anwendungen der Schwingungsanalyse erfolgen im einfachsten Fall per Smartphone, in professionellen Anwendungen oft mittels Testsignalen, z.b. mittels Modalhammer oder per Simulation.

Der Begriff der Strukturdynamik

Die Strukturdynamik untersucht die Antwort von Strukturen auf dynamische, also zeitlich veränderliche, Lasten. Die Strukturen können dabei rein mechanische Strukturen oder multiphysikalisch, zum Beispiel elektromechanisch, sein. Lasten sind die auf die Struktur einwikenden Einflüsse wie Kräfte, Drücke oder auch elektrische Spannungen an elektromechanischen Strukturen. Die Antwort der Struktur sind zum Beispiel resultierende Verformungen oder Dehnungen. Das Antwortverhalten einer Struktur kann experimentell durch Frequenzganganalyse oder Modalanalysen oder durch numerische Analysen zum Beispiel an diskreten Merhkörpermodellen oder diskretisierten Finite-Elemente-Modellen kontinuierlicher Strukturen ermittelt werden. Das Antwortverhalten der Struktur kann Ausganspunkt für Festigkeits- und Lebensdauerbetrachtungen, Kompfortbetrachtungen oder Strukturoptimierungen sein.

Sind die Lasten in hinblick auf die resultierende Anregung des Systems klein, so liegt häufig ein - zumindest annähernd - linearer Zusammenhang zwischen Last und Antwort vor, so dass von linear-elastischen Systemen geprochen werden kann. Solche Systeme lassen sich vorteilhaft im Frequenzbereich untersuchen, das Antwortverhalten wird dann durch die Übertragungsfunktion im Frequenzbereich beschrieben.

Da mit der Zeit auch die Beanspruchbarkeit von Strukturen abnimmt (Materialermüdung)verändert sich hierdurch das Antwortverhalten der Struktur, wodurch eine aktive Überwachung realisiert werden kann.

Analyse Schwingender Systeme

Um Schwingungen in einer Struktur beruhigen zu können ist es erforderlich, das Schwingungsproblem genauer zu verstehen. Je nachdem wie und warum Schwingungen auftreten sind unterschiedliche Maßnahmen besser geeignet um die Schwingung zu mindern. Die Analyse des schwingenden Systems soll dazu beitragen, unterschiedliche Konzepte objektiv zu bewerten und optimale Lösungen zu finden.

Grundsätzlich sind Vibrationen Bewegungen der Struktur, also Ortsänderungen im Laufe der Zeit, die sich mehr oder weniger wiederholen und sich dabei um einen Mittelwert bewegen. Diese Eigenschaft von periodischen Schwingungsbewegungen kann man sich zunutze machen um Vibrationen nicht nur im Zeitbereich sondern auch im Frequenzbereich zu beschreiben. Die Darstellung im Frequenzbereich hat einige Vorteile, die dabei helfen können gute Lösungen für Schwingungsprobleme zu finden. Denn die Eigenschaften einer Struktur hängen eng mit dem Verhalten im Frequenzbereich zusammen – zum Beispiel ist die Periodendauer der Schwingung eines Fadenendes – näherungsweise – von der Länge des Pendels abhängig:

j2rq.png

Man kann also die Länge des Pendels direkt aus der Eigenfrequenz ablesen, wenn man gerade kein Lineal aber wohl eine Stoppuhr-App zur Hand hat. Auch bei komplexen Strukturen lassen sich viele Eigenschaften wie Massen, Steifigkeiten und Dämpfungen im Frequenzbereich ablesen. Dazu müssen zunächst mal die Schwingungen in den Frequenzbereich transformiert werden. Anschließend können aus den Daten im Frequenzbereich zum Beispiel Spektren und Übertragungsfunktionen abgeleitet werden. Diese sind zum Beispiel interessant, um zu unterscheiden ob ein Schwingungsproblem eher durch eine Anregung oder durch die Eigenschaften der Struktur verursacht wird. Je nach dem kann man sich mit der Bekämpfung der Schwingung auf das eine oder andere konzentrieren. Man kann in Spektren außerdem erkennen, ob Probleme schmalbandig oder breitbandig sind.

Schmalbandige Schwingungen treten nur in der Nähe einer ganz bestimmten Frequenz auf, während breitbandige Probleme große Frequenzbereiche betreffen. Vergleicht man die Schwingung im zeitlichen Verlauf kann auch erkennen, ob die Frequenzen bei denen Schwingungen auftreten immer gleich sich oder sich mit der Zeit oder der Drehzahl verändern. Das sieht man besonders gut in einem Wasserfall- oder Campbell-Diagramm. Wenn man Übertragungsfunktionen einer Struktur ermittelt hat, dann kann man mit etwas Glück, Geschick und Algebra – oder mit zahlreichen OpenSource-Tools – auch ein Simulationsmodell der Struktur bilden. Den Prozess, aus gemessenen Daten die Eigenschaften eines zugrundeliegenden Systems zu bestimmen nennt man Systemidentifikation.

Transformation in den Frequenzbereich

Es gibt verschiedene Methoden um Messsignale in den Frequenzbereich oder andere sogenannte Bildbereiche zu transformieren. Dazu gehören zum Beispiel die Fouriertransformation, Laplacetransformation, Z-Transformation, diskrete Cosinustransformation und die diskrete Foureitransformation. Die Transformationen sind dabei Integralformeln, mit denen der Anteil jeder Frequenz – das Spektrum – des Signal berechnet wird. Für die Fourier-Transformation einer Funktion j2ru.png zum Beispiel:

j2ro.png

Die Fourier-Transformation funktioniert natürlich nur, wenn man die zu transformierende Funktion genau kennt – also unendlich lange und unendlich hoch aufgelöst. Für endliche, diskrete – also insbesondere gemessene – Signale verwendet man als diskrete Verfahren die Z-Transformation, diskrete Cosinustransformation oder die diskrete Foureitransformation. Besonders praktisch ist dabei die schnelle Fourietransformation (FFT), weil sie wie der Name schon sagt schnell ist und auf Messdaten – also endliche, diskrete Beobachtungen – angewendet werden kann. In vielen Tools für numerische Berechnung wie Scilab oder Numpy ist die FFT auch schon implementiert, so dass man sich das sparen kann. Man muss nur das Signal so messen, dass man den gewünschten Frequenzbereich später auch sehen kann. Wenn man ein Signal zwischen den Frequenzen j2rv.png und j2rw.png analysieren will, dann muss man für die Messdauer j2rx.png und die Abtastrate j2rz.png – also die Zeit zwischen jeweils zwei Messungen) die folgenden Grenzen einhalten (Nyquist-Shannon-Abtasttheorem):

j2r7.png


j2qw.png

Man bekommt als Ergebnis dann eine Reihe von komplexen Werten j2s4.png mit dem Frequenzbereich j2s6.png und der Frequenzschrittweite von j2s7.png , vor allem weil das zweiseitige Ergebnis für reelle Messdaten symmetrisch ist, und den statischen Signalanteil j2s8.png.

Transferfunktion

Oft möchte man die Eigenschaften eines Systems oder einer Struktur unabhängig von einer bestimmten Anregung betrachten. Die Struktur wird dabei durch eine Übertragungsfunktion beschrieben die grob gesprochen beschreibt, wie das System auf Anregungen reagiert. Meistens sind dies mehr oder weniger komplexe Differentialgleichungen. Viele Systeme lassen sich zumindest für kleine Auslenkungen aber schon durch lineare, zeitinvariante Differentialgleichungen gut beschreiben. Ein System mit dem Eingangssignal u, dem Zustandsvektor x und der Ausgangsgröße y wird dann durch diese einfachen Gleichungen beschrieben:

j2s9.png

j2sd.png

Dabei heißen die Matrix B auch Steuermatrix und die Matrix C Beobachtungsmatrix. Zum Beispiel eine Masse m mit einer Federkonstante k und der Dämpfung d mit die der kraft F angeregt führt eine erzwungene Schwingung aus. Für diese gilt die Bewegungsgleichung:


j2qm.png

j2sc.png


Eine schöne Eigenschaft solcher linear-zeitinvarianter Systeme ist, dass ihre Systemgleichungen im Frequenzbereich rationale Polynome sind. Deshalb kann man auch die Übertragungsfunktion Z im Frequenzbereich sehr einfach ausrechnen, indem man die Fourier-transformierte des Ausgangssignals durch die Fourier-transformierte des Eingangs teilt:

j2qg.png

Für unseren Einmassenschwinger sieht das Ganze dann so aus:


j2qf.png

Man sieht also wiederum eine rationale Funktion, die in Abhängigkeit von der Frequnez ω und der Parameter k,d und m unser System beschreibt. Man kann die Übertragungsfunktion aber genauso auch messen, indem man die Anregunskraft und die Bewegung misst und dann beide Signale mit einer FFT in den Frequenzbereich transformiert und die Transformierte Bewegung durch die Transformierte Kraft teilt. Die empirische Übertragungsfunktion j2se.png ist dann:


j2pi.png


Amplitudenspektrum

Betrachtet man im Frequenzbereich nur die Absolutwerte und nicht das komplexe Argument, dann spricht man auch vom Amplitudenspektrum eines Signals. Das Spektrum gibt an, wie sich die Amplitude, die Energie oder die Leistung eines Signals im Frequenzbereich verteilt. Sehr aufschlussreich ist dabei oft, das Leistungsdichtespektrum zu betrachten. Es gibt unterschiedliche Methoden das Leistungsdichtespektrum eines Signals zu berechnen, zum Beispiel das Periodogramm. Wenn man das Leistungsdichtespektrum eins Eingangssignals j38l.png und die Transferfunktion eines linearen, zeitinvarianten Systems j38o.png kennt, kann man das Leistungsdichtespektrum des Ausgangssignals mit der Formel


ivuf.png


bestimmen. Interessant ist daran vor allem, dass man die Formel aber auch umstellen und anhand eines gemessenen Ausganssignals eines Systems die Anregung bestimmen kann, die man oft nicht direkt messen kann.


Welch's Methode

Egal wie gut und genau man misst, ein gemessenes Signal enthält immer auch Störungen. Tatsächlich ist es sogar ein physikalisches Gesetz, dass man nie wirklich exakt messen kann. Man spricht hier von einem stochastischen Anteil im Gegensatz zum sogenannten deterministischen Anteil, den man eigentlich messen wollen würde. Man kann sich aber zunutze machen, dass der deterministische Anteil immer gleich aussehen sollte und der stochastische Anteil – wie der Name eigentlich schon sagt – zufällig ist. Wenn man also das gemessene Signal in kleines Abschnitte zerlegt, für jeden Abschnitt einzeln ein Spektrum bestimmt und dann über die Spektren mittelt, dann gleichen sich die stochastischen Anteile aus und die deterministischen Anteile bleiben übrig. Dieses Verfahren um einigermaßen saubere Spektren zu bestimmen nennt man Welch’s Methode.


Wasserfalldiagramm

Oft möchte man beobachten, wie sich ein Spektrum im Laufe der Zeit ändert, zum Beispiel beim Einschalten oder wenn man die Drehzahl eines Motors ändert. Hierzu ist ein Wasserfalldiagramm sehr nützlich. Im Wasserfalldiagramm werden sozusagen die Spektren für aufeinanderfolgende Zeitabschnitte nebeneinander dargestellt. Je nachdem, aus welcher Richtung man das betrachtet, sieht das Ergebnis aus wie ein Wasserfall.


Identifikation

Wenn man ein System nachbilden will muss man aus Messdaten die Parameter eines Modells bestimmen. Diesen Prozess nennt man Identifikation. Es gibt verschiedene Verfahren um zum Beispiel digitale Filter wie FIR-Filter oder IIR-Filter zu identifizieren um einen Prozess nachzubilden. Man kann aber auch physikalische Systeme identifizieren. Zum Beispiel kann man an einer gemessenen Übertragungsfunktion die Masse, Steifigkeit und Dämpfung eines Einmassenschwingers ablesen indem man die Lage, Höhe und Breite der Überhöhung bestimmt. Es gibt auch eine elegante, mathematische Lösung auf Basis der bekannten kleinste Quadrate Methode. Wenn man die Abweichung der analytischen Funktion j38x.png von oben von einer an mehr als drei Freuqenzen j38z.png gemessenen Funktion j390.png aufschreibt bekommt man ein überbestimmtes Gleichungssystem für das man eine kleinste Quadrate Lösung ausrechnen kann:

Mit

ivte.png

und

j392.png

kann man nämlich aus der Fehlerfunktion e ein kleinste Quadrate Problem, also eine überbestimmtes lineares Gleichungssystem der Form Ax=B machen:

ivsx.png

Das Gleichungssystem mit den drei unbekannten m,d und k und N Gleichungen sieht dann wie folgt aus und kann mit einem Computer sehr leicht gelöst werden:


ivtd.png

Es gibt auch Verfahren, um Systeme mit mehreren Freiheitsgraden anhand ihrer Eigenschwingung zu charakterisieren. Dabei spricht man von modaler Identifikation oder Modalanalyse.

Finite Elemente Methode

Eine weitere beliebte Methode, Strukturen numerisch zu beschreiben ist die Finite Elemente Methode. Dabei zerlegt man die Geometrie – die zum Beispiel in einem CAD-Programm erzeugt wurde – in viele kleine Stückchen (die finiten Elemente), für die man aufgrund von Materialgesetzen eine Bewegungsgleichung aufstellen kann und die man später zu durch Anwendung von Kopplungs- und Kontinuitätsbedingungen zu einem großen Gleichungssystem zusammen.

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